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数ヶ月前に電車の中の広告で見掛けた東京大学の入試問題が表題。Saku Sakuでも、数ヶ月前に黒幕さんが見かけて話題にしており、それを受けて４月２５日の放送で視聴者からの解答のメールを紹介していた。実際、これが話題になった時も、浪人生（現、浪人生ＮＥＯ）がネットで調べて、「無限級数」などを用いて、屋根の上の住人の誰一人として分かっていない解説をしていた。私も、この広告を見掛けてから、ずっと解答を考えていた。 　その前に、リスナーから送られた解答を、あまり理解の出来ていない男の紹介、で紹介しておこう。そのリスナーのアプローチは、ズバリ、円周率を求めてしまう事。ここが何だか分からないのだが、「マクローリン展開」（調べてみると「テイラー展開」の一種らしい）を使って、3.14…を求めていた。だから、円周率は3.05よりも大きい、と。多分、これでも正解になるのだろうが、私は別のアプローチを試みていた。 　以前、ここに、ホールケーキを六等分する方法を書いた。半径と同じ長さを円周上の一点から別の円周上の一点に向けて、その一点から中心に向かって切り込みを入れた扇形が六等分されたものだ、と。この切り取られた扇形の頂角と二辺を共有する三角形は正三角形である。故に、三辺の長さは同じ。さて、この正三角形の集合体は、円に内接する正六角形になる。円に内接すると言う事は、この正六角形の辺の長さの計が円周を超える事は無い。だから、この正六角形の辺の長さの計が直径の３．０５倍よりも大きければ、円周率が３．０５よりも大きい事の証明になる。ところが、この正六角形の辺の計は、直径の３倍である。一応、その説明をしておく。正六角形は、先ほどの正三角形の集合体である。正六角形の対辺の長さは、この正三角形の一辺の２倍。正六角形の辺の長さは、正三角形が６つ集まって出来ているものだから、正三角形の一辺の６倍。対辺は円の直径と同じ事だから、正六角形の辺は円の直径の３倍にしかならない。 　ここで話を止めてはいけない。なら、内接する正多角形の角を増やしてみればよい。絵を思い描けば分かりやすいが、内接する多角形の角を増やしていくと、円に近付いていく。限りなく増やしていけば、より円に近付く。そこで、先ほどの六角形の倍、十二角形を考えてみた。…が、ここで私の限界が来る。同じ考え方で上の問題が、正十二角形の段階で証明される事は、ネット上にある詳しい人の文章で“知った”。私の分からなかった事は、「３０度、７５度、７５度の二等辺三角形の辺の比」である。この二等辺三角形の同じ長さとなる二辺の長さは、１であって、それ対する残りの一辺の長さの比が分からない。恐らく、これが、頂角を半分にしても、半分にはならず、正多角形の辺の計が対角辺の３倍よりも長くなっていき、いずれ、３．０５を超す、と考えていた。しかし、数学を怠けてきた男。具体的に、「３０度、７５度、７５度の二等辺三角形の辺の比」を証明することが出来ない。元となる考え方が証明出来なければ、その上の命題も証明できない。 　…と、実に情けない結果に終わった（笑）。実際、この問題を紹介していた城南予備校のＨＰを見てみた。ここには内接する正八角形で証明をしていた。私の言う、頂角とは正弦（ｓｉｎｅ）の事で、そのｓｉｎ３０を用いて、色々と計算すると、３．０５よりも大きい事が証明されるらしい。詳しくは、こちらを参照（但し、ＰＤＦ方式で表示されるので、多少の注意が必要）。同じ問題を取り上げたサイトは多数あり、中には小学生にも分かりやすくする為、「円周率を用いても良い」、「３０度・７５度・７５度の二等辺三角形の辺の比を１：１：０．５１７とする」なんてものもあった。このヒントがあれば、一応、私でも解けたはず（笑）。まあ、私には「３０度・７５度・７５度の二等辺三角形の辺の比を１：１：０．５１７である」事の証明の方が大事に見えてしまうので、利用するのに抵抗があるが（苦笑）。とりあえず、アプローチが合っていた事だけを心の支えにする（笑）。 　城南予備校の解説の冒頭に、「『円周率π＝３・１４１５９２ＬＬだから、円周率が３．０５よりも大きいのは当然である』では１点も貰えない」とある。私は、こんな事を全く考えなかった。疑っている訳でも何でもないが、円周率が３．０５よりも大きい事を証明せよ、と言われて、今、あるものを不用意に用いるのは得策ではない。それに、問いは「３．０５より大きい事を証明せよ」であって、「３．１４より大きい事を証明せよ」、ではない。自分で考えた結果で証明をしなければならない。この問題は、偶々、図形の絡むもの。そこで、図形を手掛かりにして考えた。そして、それが“自然の流れ”だと思っていた。逆に、城南予備校の記述に驚いたぐらいである。 　萩本欽一氏の「なんでそうなるの？」ではないが、「どうして、そうなるの」を問われているのに、「昔の人がそう決めたからです」と言う答えでは、何とも弱い。仮に、証明が出来なくとも、「こんなところに手掛かりがあって、それを進めると証明が出来そうなんですが…」の方が、“考えた証”になる。それを求めているのが、上の問題。城南予備校が、態々、こんな事を言うのは、今の人が「的外れな反応を示しやすい」と言う事なのか。まあ、問題の証明の出来ない男がこんな事を言うのは、それこそ、的外れだろうケド（苦笑）。そんなところで、この話はおしまい。

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